树状数组算是我目前学过最优雅好写的数据结构了。
树状数组也被称为二进制索引树(Binary Indexed Tree,BIT)，是一种高效的数据结构，它可以实现 $O(\log n)$ 的单点修改和前缀和查询。
核心思想
当我们想实现单点修改和区间查询时，肯定会有人想到用一个数组来维护若干个小区间的和，使得修改和查询的复杂度都不会那么高。
树状数组便是巧妙的运用了二进制来实现这一想法。
现在我们存储每一个位置前面 lowbit 位的和，也就是是说 $c_i=\sum_{j=i-lowbit(i)+1}^ia[j]$，比如 $i=6$，那么我们可以先将 6 转化为二进制 $(0110)_2$，显然 $c[6]=a[5]+a[6]$。
实现
区间查询
这里偷借一下老师的图（（（（
不难发现长得确实很像树如果现在要求前 $i$ 项的和，那么就可以通过每次减去 $lowbit(i)$ 得到的 $c_i$ 求和，具体来说就是 $sum[i]=c[i]+sum[i-lowbit[i]]$。
还是拿 6 举例，先化成二进制 $(0110)_2$。
- $lowbit((0110)_2)=(0010)_2$，即 $lowbit(6)=2$
- $(0110)_2-(0010)_2=(0100)_2$，即 $6-2=4$
- $lowbit((0100)_2)=(0100)_2$，即 $lowbit(4)=4$
- $(0100)_2-(0100)_2=(0000)_2$，即 $4-4=0$
所以 $c[6]=c[4]+c[2]$。
代码：
1 | long long query(long long x) |
单点修改
查询是从上往下退，修改也同理，从下往上爬就行了，不难发现，$i$ 的父节点即为 $i+lowbit(i)$。
代码：
1 | void update(long long x,long long v) |
不过这样实在是太屎山了，不妨把他封装起来：
1 | class BIT |
进阶
区间修改单点查询
结合单点修改区间查询，不难想到差分，我们只需要对差分数组做树状数组，这样需要区间修改的话只需要单点修改差分数组的两端，单点修改的话需要修改一整个区间。
1 | c.update(l,x);c.update(r+1,-x);//l~r 加 x |
区间修改区间查询
核心思想
仍然是差分，通过差分数组 $d$，我们可以将区间修改转化为单点修改：
- 将区间 $[l, r]$ 内的所有元素加上 $x$，等价于：
- $d[l] += x$
- $d[r+1] -= x$
同时，区间查询可以通过差分数组的前缀和来实现：
- $
a[i] = \sum_{j=1}^i d[j]
$ - $\sum_{i=1}^k a[i] = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^i d[j] = \sum_{j=1}^k d[j] \cdot (k - j + 1) = (k + 1) \cdot \sum_{j=1}^k d[j] - \sum_{j=1}^k d[j] \cdot j$
为了高效计算上述公式，我们需要维护两个树状数组：
- 一个树状数组维护差分数组 $d[i]$。
- 另一个树状数组维护 $d[i] \cdot i$。
实现细节
修改
对于区间 $[l, r]$ 的修改操作，我们需要更新两个树状数组：
- 在第一个树状数组中：
- $d[l] += x$
- $d[r+1] -= x$
- 在第二个树状数组中：
- $d[l] \cdot l += x \cdot l$
- $d[r+1] \cdot (r+1) -= x \cdot (r+1)$
代码实现：
1 | void update(int l, int r, long long x) { |
查询
对于区间 $[1, k]$ 的查询操作，我们可以通过以下公式计算：
$\sum_{i=1}^k a[i] = (k + 1) \cdot \text{query}d(k) - \text{query}{id}(k)$其中：
- $\text{query}d(k)$ 是第一个树状数组的前缀和，即 $\sum{i=1}^k d[i]$。
- $\text{query}{id}(k)$ 是第二个树状数组的前缀和，即 $\sum{i=1}^k d[i] \cdot i$。
代码实现：
1 | long long query(int l, int r) { |
喜闻乐见封装环节
1 | class BIT { |
